Question

a为实数，求f(x)=2x²+(x-a)|x-a|的最小值

Answer 1

a≥0时
当x≥a
f(x)=2x²+(x-a)²
f(x)=3x²-2ax+a²
对称轴为x=a/3，开口向上
则在定义域(a，+∞)上f(a)为最小值
f(a)=2a²
当x≤a
f(x)=2x²+(x-a)(a-x)
f(x)=x²+2ax-a²
对称轴x=-a，开口向上
则在定义域f(-a)为最小值
f(-a)=-2a²
a^2≥0
-2a²≤2a²
-2a²为最小值
a＜0时
当x≥a
f(x)=3x²-2ax+a²
对称轴为x=a/3
a/3>a
则最小值为f(a/3)=2a²/3
当x≤a
f(x)=2x²+(x-a)(a-x)
f(x)=x²+2ax-a²
对称轴为x=-a
-a＞a
则最小值为f(a)=2a²
2a²＞2a²/3

则当a≤0时，最小值为2a²/3

Answer 2

讨论~1. x>=a时，f(x)=3(x^2)-2ax+a^2=(√3x-√3a/3)^2+2*(a^2)/3，当x=a时取最小值2(a^2)
2.x<a时，f(x)=2(x^2)-(x-a)^2=(x+a)^2-2(a^2),当x=-a时取最小值-2(a^2)
所以最小值为-2(a^2)