Question

完数的意义

Answer 1

完数，即完美数，一个数如果恰好等于除它本身外的因子之和，这个数就称为完数。例如6=1＋2＋3.(6的因子是1,2,3)

【性质】
　　完全数有许多有趣的性质：
　　⒈它们都能写成连续自然数之和。
　　如：6 = 1+2+3；
　　28 = 1+2+3+4+5+6+7；
　　496 = 1+2+3+……+30+31；
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　　⒉它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。
　　如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；
　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
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【疑难问题】
　　⑴到底有多少完全数？寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了40多个完全数。
　　⑵有没有奇完全数？奇怪的是，已发现的44个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。
　　至今无人能回答这些问题。
　　尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。

【完全数公式】
　　大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数。p=2，2^p-1=3是质数，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是质数，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
　　当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数！顾名思义，就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的！事实上，至今，人类只发现了44个梅森素数，也就是只发现了44个完全数。

Answer 2

完数，即完美数，一个数如果恰好等于除它本身外的因子之和，这个数就称为完数。