Question

已知数列｛An}和｛Bn｝,对于一切正整数都有： A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.......+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立。

I：如果数列An的通项公式为An=n，求证数列Bn是等比数列
II：如果数列Bn是等比数列，数列An是否是等差数列，是，求其通项公式

Answer 1

(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2b﹙n-1﹚+3b﹙n-2﹚+…+(n-1)b2+nb1=3^(n+1)-2n-3，
同时有b﹙n-1﹚+2b﹙n-2﹚+3b﹙n-3﹚+…+(n-2)b2+(n-1)b1=3^n-2n-1(n≥2)，
两式相减可得bn+b﹙n-1﹚+…+b2+b1=2﹙3^n-1﹚=Sn,
b1=4
bn=Sn-S﹙n-1﹚=4*3^(n-1),b1=4满足此式
所以数列{bn}是首项为4，公比为3的等比数列.

(2)设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则bn=b1*q^﹙n-1﹚，从而有：
b1*q^﹙n-1﹚*a1+b1*q^﹙n-2﹚*a2+b1*q^﹙n-3﹚*a3+…+b1q*a﹙n-1﹚+b1*an
=3^(n+1)-2n-3..............①
又b1*q^(n-2)*a1+b1*q^(n-3)*a2+b1*q^(n-4)*a3+…+b1*a(n-1)=3^n-2n-1(n≥2)..........②，
故①式变为(3^n-2n-1)*q+b1an=3^(n+1)-2n-3,
an=﹛【3^(n+1)-2n-3】-[(3^n-2n-1)*q]﹜/b1
=[(3-q)*3^n+2n*(q-1)+(q-3)]/b1
显然,当q=3时， an=4n/b1……③
且由已知a1=4/b1满足③式,公差d=an-a(n-1)=1/b1
∴存在{an} 是等差数列 an=4n/b1
当q≠3时,数列{an}不是等差数列

Answer 2

由题可知，A1Bn+1 + A2Bn + ……+ An+1B1=3^(n+2)-2(n+1)-3 作为第二式
与题目给的第一式相减，第二式的第二项减第一式的第一项，第二式的第三项减第一式的第2项……
最后可得 Bn+1 + Bn + Bn-1 +……+B1=2*3^(n+1)-2
再推一项得 Bn + Bn-1 +……+B1 =2*3^n-2
相减得到Bn+1=4*3^n

第二问的方法类似，设Bn的公比为q，An公差为d，就可以解出来了，不懂再追问。

Answer 3

1.令n=1 得Bn=4
A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.......+AnB1=3^(n+1)-2n-3
Bn+2Bn-1+3Bn-2+.......+nB1=3^(n+1)-2n-3
Bn-1+2Bn-2+.......+(n-1)B1=3^n-2n-1
Bn+Bn-1+Bn-2+.......+B1=2*3^n-2
Bn-1+Bn-2+.......+B1=2*3^(n-1)-2
Bn=4*3^(n-1)
B1符合
数列Bn是以4为首项，公比为3的等比数列

追问

还有II问，拜托

追答

下一问我就不知道了，不好意思啊！