Question

高中数学必修4

已知向量a=（√3sin x，cosx）,b=(cosx,cosx),f(x)=2a乘b+2m-1,(x,m∈R). (1) 求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期。 （2）若x∈[0,π（圆周率）/2]时，f(x)的最小值为5，求m的值 。 急需！！！！谢了

Answer 1

1.已知a,b向量，可以知道：
a乘b（点乘）
=（√3sin x * cosx)+(cosx * cosx)
=（√3/2）sin 2x + [ (1/2) cos 2x +1/2 ]
=sin 2x cos (π/6) + cos 2x sin (π/6) + 1/2
=sin(2x+π/6) +1/2

这样，将上式带入到f(x)的表达式中，就可以得到：
f(x)=2sin(2x+π/6)+2m >>>(*)
(对应：f(x)=Asin(ωx+φ)+B )
其中，m是常数，那么也就有f(x)的最小正周期为：T=2π/ω=π

2.题目所求区间x∈[0,π/2]包含在题目中函数的一个周期[-π/3,2π/3]内
可以根据正弦函数的单调性求解，
对f(x),知道：
取最小值满足的条件是2x+π/6=2nπ+3π/2,即x=nπ+2π/3;
取最大值满足的条件是2x+π/6=2nπ+π/2,即x=nπ+π/6

于是，我们知道函数在一个周期[-π/3,2π/3]内的单调性如下：
单调递增区间：[-π/3,π/6]
单调递减区间：[π/6,2π/3]
那么，也就是说函数在区间内从[0,π/6]递增，再从[π/6,π/2]递减
可以知道函数的最小值必然是f(0)和f(π/2)中的一个或者两个都是

根据三角函数的对称性：我们知道以π/6为对称轴，令g(x)=sin(2x+π/6),有g(0)=g(π/3)
由于区间[π/6,π/2]内递减，所以我们知道g(π/2)<g(π/3)=g(0)
所以函数区间内的最小值是g(π/2)
也就是f(x)的最小值是f(π/2);
根据(*)式有：f(π/2)=2sin(π+π/6)+2m=2m-1

根据题意有2m-1=5
所以m=3