Question

高数题目 求解 关于高斯公式的

求曲面积分∮∮xzdydz+yzdzdx+（1/2）*z^2*√(x^2+y^2)dxdy,其中∑为z=√（x^2+y^2）,z=1围成的立体整个边界曲面的外侧
我用高斯公式求的原式=∫∫∫z+z+z√(x^2+y^2)dxdydz=∫（0~2π积分）dθ∫(0~1)rdr∫(0~1)2z+zrdz=4π/3 但是答案是19π/30 我不知道错了哪里 还望请教 多谢

Answer 1

因为你化成三重积分后，z的积分区域应该是从r到1，不是0到1
这样求出来就是19π/30

追问

哦 是这样啊 谢谢了 不过我还想问一下 就是这个取积分的区域 我把x y帯进去可以得到z=r 但是直接从图上看我就直接取了z从0到1 有时候很迷糊 到底范围该通过什么方法取得才不会有错？

追答

那是把图理解错了，这个三重积分区域是个倒立的椎体，z就是从椎体的斜边积分到底面
有的复杂点的图，不太好想象，就画投影面，就像这道，投影到yz面上，就是个等腰直角三角形，z的积分就是从三角形的斜边到腰

Answer 2

1
r 0-Z
θ 0-2π
Z 0-1

2
r 0-1
θ 0-2π
Z r-1