Question

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点。过点P作PF⊥CD于点F……急求高手解答

作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=X S△PCE=Y
（1）求证：DG=EF
（2）当点P在线段AO上时，求Y关于X的函数关系式及自变量X的取值范围
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长，如果不能，请简单说明理由。
（附图。高手速度来解答下……谢谢了！）
第一问错了，应该是求证：DE=EF。高手们注意了……

Answer 1

证明：如图（1）连接PD，∵四边形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

（2）如图，过点P作PH⊥AD于点H，
由（1）知：PA= 2PH= 2DF= 2EF
PC= 2CF
∴PC-PA= 2（CF-EF），
即PC-PA= 2CE．

追问

哦 我懂了。。。谢谢！
但是第二问还是没看明白……

Answer 2

证明：
（1）连接PD，BE
∠BPE=∠BCE=90°，
（BCEP四点共圆，可得∠CBE=∠CPE,∠PCE=∠PBE,
∠CBP=∠CBE+∠PBE=∠CPE+∠PCE=∠PEF
于是有∠CBP=∠CDP=∠PEF）
PF⊥DE,所以DF=EF.
（2）AC=4√2，AP=x,,CP=4√2－x，
CF=4-√2/2x=PF，DF=4-CF=√2/2x，CE=4-√2x
y=S△PCE=1/2CE×PF=1/2 x2 -3√2x + 8（0≤x≤2√2）
（3）∠CEP≥90°，若△PEC为等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°，
则PE⊥CE，
因PE⊥PB，则BP∥CD，所以BP∥BA
于是P与AB共线，又P在AC上，所以A与P共点，此时，PA=0

Answer 3

也可延长FP哦！！！