Question

已知函数f(x)=1/3x³+ax²-bx+1(a、b∈R)在区间【-1,3】上是减函数，则a+b的最小值是

Answer 1

解：f'(x)=x^2+2ax-b，可以知道f'(x)的图像开口向上，
所以f(x)在[-1,3]上是减函数时有，
f'(-1)<=0,f'(3)<=0,即
1-2a-b<=0, (1)
9+6a-b<=0, (2)
(1)式两边同乘以7得
7-14a-7b<=0, (3)
(2)和(3)两边分别相加得
16-8a-8b<=0,整理可得，
a+b>=2.即a+b的最小值为2.
(补充）
上面乘的7是这样来的，
由于题目要求a+b，这里a和b的系数相同（都为1），
所以为了配成这样的形式，在（1）或者（2）式两边乘以m(假设m为正数），
得m-2ma-mb<=0，（4），
为了求m，应该有（2）和（4）两边分别相加后a和b的系数应该相等，即
-2m+6=-m-1，解得m=7.然后再进行接下来的计算。
另外，（1）乘3+（2）可得，
12-4b<=0，得b>=3，由上面得的a+b>=2，知道
b=3时，可以有a=-1，这时
1-2a-b=0
9+6a-b=0.
注意，不可以由b>=3和a+b>=2得出a>=-1.