Question

已知a,b∈R,f(x)=x*x-abx,设a,b都是正数,当x∈[1,3]时,不等式f(x)+4≥0恒成立,求1/a+2/b的最小值

Answer 1

f(x)+4=x*x-abx+4≥0
1）若1≤ab/2≤3即2≤ab≤6时，f(x)+4=（x-ab/2）^2+4-(ab)^2/4≥0恒成立，则-4≤ab≤4,所以
2≤ab≤4；
2）若ab/2>3即ab>6,f(3)+4≥0,9-3ab+4≥0，ab≤13/3，ab无解；
3）若ab/2<1即ab<2，f(1)+4≥0,1-ab+4≥0，ab≤5，所以ab<2。
所以0<ab≤4，2/(ab)≥1/2，1/a+2/b≥2(1/a*2/b)^(1/2)=2(2/(ab))^(1/2)≥2(1/2)^(1/2)=2^(1/2)
1/a+2/b的最小值是2^(1/2)