Question

已知函数f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x.求函数y在(a^2,a)上的最大值

要详细步骤！急 谢谢！
函数y=f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x在(a^2,a)。前面的我会 就是分类时不太清楚

Answer 1

有原题可知 函数的定义域为x>0,求的值为在（a^2,a）上的最大值，所以a的范围为0<a<1;
f'(x)=1/x-2ax+a-2;
f'(x)=0 即(-2ax^2+(a-2)x+1)/x=0;
由于x>0;
即-2ax^2+(a-2)x+1=0;
得(ax+1)(2x-1)=0;
可得 x=-1/a 或 x=1/2
当0<x<1/2 时 f'(x)>0
当x>1/2时 f'(x)<0
当0<a<1/2时 x=a 函数f(x)获得最大值 f(x)=lna-a^3+a^2-2a;
当1/2<=a<=(根号2)/2时 x=1/2 函数f(x)获得最大值 f(x)=ln(1/2)+a/4-1;
当(根号2)/2<a<1时 x=a^2 函数f(x)获得最大值 f(x)=2lna-a^5+a^3-2a^2.

Answer 2

由(a^2，a)得：a^2<a 得到0<a<1
求导得到：f’(x)=1/x-2ax+a-2=0得x1=-1/a x2=1/2 显然x1<x2
由于x1<0 则分类可以这样分：
1)，区间在0到1/2之间，即0<a^2<a<1/2
2)，1/2在区间内，即0<a^2<1/2<a<1，在算出f(x1)和f(x2)后比较一下，可以在分两种情况，比较后再把a的取值范围和原来的求交集
3)：区间在1/2到1之间，即1/2<a^2<a<1

Answer 3

y的导数为 （ax+1）（1-2x）/x，a^2＜a，得0＜a＜1，从而得0＜a^2＜x＜a＜1，故f(x)的导数等于0的根有且只有一个x=1/2；
再分类讨论 1）当0＜a＜1/2时 ，函数在(a^2,a)单调递增，最大值是lna-a^3+a^2-2a
2）当1/2＜a^2＜1时，（a大于0），函数递减，最大值为f(a^2)=2lna-a^5+a^3-2a^2
3） 当 根号2/2＜=a＜=1/2时 ，最大值为f(1/2)=-ln2-7/8

Answer 4

对f(x)求导得f(x)=1/x-2ax+a-2 令导数为零 得x=1/2 由题目可知0<a<1 当a<1/2时 x=a取得最大值（由f(x)的求导结果可知），当a>√2/2时即a^2>1/2时x=a^2时，取得最大。当1/2≤a≤√2/2时x=1/2 y取得最大值。

Answer 5

首先a^2<a，求得a大于0小于1
对式子求导，为1/x-2ax+a-2,令狮子为0，求极值点，为-1/a 1/2
再与两端点的值作比较，最大的为最大值，
对a进行分类讨论即可