Question

已知函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-3ax,f(0)=b, a,b为实数，1<a<2

(1)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值，最大值分别为-2,1，求a,b的值（2）在（1）的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程

Answer 1

解：（1）
f'(x)=3x^2-3ax，求不定积分得
f(x)=x³-3ax²/2+c（c是常数）
因为f(0)=b
所以，c=b
所以f(x)=x³-3ax²/2+b
f'(x)=3x^2-3ax=3x(x-a)，则
f'(x)在[-1,0)上为正，x=0时为0，此时单调递增；在(0,1]上为负，此时单调递减
所以，f(x)在x=0时取得最大值f(0)=b=1
f(1)=1-3a/2+1=2-3a/2
f(-1)=-1-3a/2+1=-3a/2
所以，最小值是f(-1)=-3a/2=-2，得到a=4/3
所以f(x)=x³-2x²+1
（2）
将x=2代入f'(x)，得f'(x)=4
所以直线L斜率是4，过点(2,1)，则方程为y=4x-7

Answer 2

(1)画出导数的图像，即二次函数图像，可知f(x)在区间[-1,1]上单调递减
最小值为f(0)=b=-2，所以b=-2
最大值为f(1)=1，
怎么感觉条件不够啊，f(x)表达式还没给呢，怎么求a啊

Answer 3

由f'(x)得 f(x)=x^3-3/2*ax^2+c
(1)
f(0)=c=b f(x)=x^3-3/2*ax^2+b
f'(x)=0 得 x=0 或 x=a 由于 1<a<2
f(x)在[-1,0]上递增，在[0,1]递减，
在x=0 取得最大值 f(0)=b=1 得 b=1;
当x=-1 f(-1)=-3/2*a x=1 f(1)=2-3/2*a
由于f(-1)< f(1) 所以 最小值为f(-1)=-3/2*a=-2 得 a=4/3
(2)
有(1)知道 f(x)=x^3-2x^2+1
由于f(2)=1 所以可以确定点P在曲线f(x)上，
经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的斜率为f'(2)=4
直线l的方程为：y-1=4(x-2) 即 y=4x-7