Question

函数f(x)=cos^4x-2asinxcosx-sin^4x的图像的对称轴的方程为

设函数f（x）=cos^4x-2asinx×cosx-sin^4x的图像的一条对称轴的方程x=-π/8
1.求实数a的值
2.对于x属于（0，π/2),求函数f（x）的最小值和取得最小值诗x的值

Answer 1

f（x）=cos^4x-2asinx×cosx-sin^4x
=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-2asinxcosx
=cos²x-sin²x-2asinxcosx
=cos2x-asin2x
=√(a²+1)cos(2x+θ) (其中sinθ=(1/√a²+1)，cosθ=a/√(a²+1)，0≤θ<π)
（1）故f(x)的对称轴为2x+θ=kπ ，即 x=kπ/2-θ/2 (其中k∈Z)
由于x=-π/8为一条对称轴
则只有k=0，θ=π/4
因此1/√a²+1=√2/2，a/√(a²+1)=√2/2
即a=1
（2）f(x)=√2cos(2x+π/4)
因x∈（0，π/2),
故π/4<2x+π/4<5π/4
故√2/2<cos(2x+π/4)≤-1
即f(x)的最小值为-√2，此时2x+π/4=π即x=3π/8