Question

P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G，过C作CE⊥AP与E，连BE。

（1）如图11-①若P为BC的中点，求CE的长;
（2）如图11-②当P在BC上运动时（不与B、C重合），求（AG-CE）/BE的值
（3）当PB=_______时，△BCE为等腰三角形

Answer 1

第一个问题：
由勾股定理，有：PA^2＝AB^2＋PB^2＝AB^2＋（BC/2）^2＝（3/2）AB^2，
∴PA＝√6AB/2＝2√6。
显然有：PA×BG＝AB×PB，
得：BG＝AB×PB/PA＝AB×（AB/2）/（2√6AB）＝AB/（4√6）＝√6/6。

第二个问题：
在AG上取一点F，使AF＝CE。
∵ABCD是正方形，∴∠BAF＋∠APB＝90°。∵CE⊥PE，∴∠BCE＋∠CPE＝90°。
而∠APB＝∠CPE，∴∠BAF＝∠BCE，又AB＝BC，AF＝CE，∴△ABF≌△BCE，
∴BF＝CE，∠ABF＝∠CBE。
由∠ABF＝∠CBE，∠ABC＝90°，得：∠EBF＝90°。
由∠EBF＝90°，BF＝CE，得∠BFG＝45°，而BG⊥FG，∴FG/BF＝√2，即FG/BE＝√2。
很明显，FG＝AG－AF＝AG－CE，
∴（AG－CE）/BE＝√2。

第三个问题：
∵CE⊥PE，∴∠BEC是钝角。
∵在三角形中若有钝角是时，只有一个且该角最大。∴∠BCE和∠CBE都不会与∠BEC相等，
∴当△BCE是等腰三角形时，只有是BE＝CE。
由第二个问题的证明中，可知，当BE＝CE时，有：AF＝BF。
∵BFG是以BF为斜边的等腰直角三角形，
∴容易求得：BG＝FG，且BF＝√2BG，∴AF＝√2BG。
∴BG/AG＝BG/（AF＋FG）＝BG/（√2BG＋BG）＝1/（√2＋1）＝√2－1。
由∠APB＝∠BPG，∠ABP＝∠BGP＝90°，得：△ABP≌△BGP，∴PB/AB＝BG/AG＝√2－1
∴PB＝（√2－1）AB＝4（√2－1）。
即：当PB＝4（√2－1）时，△BCE是等腰三角形。