已知a,b,c均为正整数,且a^2+b^2=c^2,求证c^3/2<a^3+b^3<c^3
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b=√(c²-a²)
记f(a)=a³+ b³=a³+(c²-a²)^1.5，0<a<c
f'(a)=3a²-3a√(c²-a²)=3a(a-√(c²-a²))
令f'(a)=0 --->a=0,a=√2c/2
∴f(a)在(0,√2c/2)单调递减，在(√2c/2,c)单调递增
f(0)=c³
f(c)=c³
f(a)min=f(√2c/2)=√2c³/2>c³/2
所以c³/2<f(a)<c³
即c³/2<a³+ b³<c³
记f(a)=a³+ b³=a³+(c²-a²)^1.5，0<a<c
f'(a)=3a²-3a√(c²-a²)=3a(a-√(c²-a²))
令f'(a)=0 --->a=0,a=√2c/2
∴f(a)在(0,√2c/2)单调递减，在(√2c/2,c)单调递增
f(0)=c³
f(c)=c³
f(a)min=f(√2c/2)=√2c³/2>c³/2
所以c³/2<f(a)<c³
即c³/2<a³+ b³<c³
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