Question

已知函数f(x)=acosx（cosx+sinx）+b，当a<0,且x属于[ 0,π/2 ] 时f(x)的值域是[ 3,4] ,求a,b的值

Answer 1

f(x)=acosx(cosx+sinx)+b
=a(cos²x+cosxsinx)+b
=a[1/2(1+cos2x)+1/2sin2x]+b
=√2/2asin(2x+π/4)+1/2a+b
x∈[ 0，π/2 ]，2x+π/4∈[π/4，5π/4]，sin(2x+π/4)∈[-√2/2，1]
a<0，于是当sin(2x+π/4)=1时，f(x)取最小值√2/2a+1/2a+b=3
当sin(2x+π/4)=-√2/2时，f(x)取最小值b=4
解得a=2-2√2， b=4。

Answer 2

解：
f(x)=acosx(cosx+sinx)+b
=a(cosx)^2+asinxcos+b
=a[cos(2x)+1]/2+asin(2x)/2+b
=a/2[cos(2x)+sin(2x)]+a/2+b
=√2a[sin(2x+π/4)]/2+a/2+b
可知：
最大值为：f(x)max=√2a/2+a/2+b
最小值为：f(x)min=-√2a/2+a/2+b
由题得：
√2a/2+a/2+b=4
-√2a/2+a/2+b=3
解得：
a=√2/2
b=(14-√2)/4

Answer 3

f(x)=acosx（cosx+sinx）+b
=a/2*(1+cos2x+sin2x)+b
=a/2*(1+2^0.5*sin(π/4+2x))+b
π/4+2x∈[π/4,5π/4]
a<0
所以 f(x)∈[a/2*(1+2^0.5)+b,b]
故：b=4,a=2-8^0.5