Question

数学题 在三角形ABC中，角ACB=90度，AD是角BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E

数学题 在三角形ABC中，角ACB=90度，AD是角BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形

Answer 1

：∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CH，
∴∠ADE=∠CFD
∵AD是角平分线，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠ADC=∠ADE（等角的余角相等）．
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD，
∵DF=DF，
∴△FCD≌△FED，
∴CF=EF．
∴CF=EF=DE=CD．
∴四边形CDEF是菱形．

Answer 2

：∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CH，
∴∠ADE=∠CFD
∵AD是角平分线，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠ADC=∠ADE∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD，
∵DF=DF，
∴△FCD≌△FED，
∴CF=EF．
∴CF=EF=DE=CD．
∴四边形CDEF是菱形的

Answer 3

解∵AD平分∠BAC,AC⊥CB,DE⊥AB∴CD＝DE
又CH⊥AB∴CH∥DE∠HCB＝∠EDB,∠CDF＝∠EDF,∠HCB＋∠CDF＝∠EDB＋∠EDF
即∠DFH＝∠FDB,
得，CD＝CF,所以CF＝DE，得出CDEF是平行四边形
从而得出四边形CDEF是菱形。

Answer 4

延长EF做辅助线交AC于G 角EDA+角DAE=90°=角ADC+角DAC 因为角DAE=角DAC 所以
角EDA等于角ADC 角DFC等于角HFA 角EFD等于角CFA 角HFA又等于角AFC 所以
角DFC =角EFD 再加上DF等于FD 可以得知 三角形EFD全等于三角形DFC 所以DE等于DC
角FED等于角FCD
在由平行线间夹角相等知道 角FED等于角HFE 所以角HFE等于角FCD 所以 EF平行于DC
所以CDEF为菱形