Question

已知矩形ABCD，AB=根号3，BC=3，在BC上取两点E,F（E在F左边）

已知矩形ABCD，AB=根号3，BC=3在BC上取两点E,F(E在F左边)，以EF为边作等边△PEF，使顶点P在AD上，PE,PF分别交AC于点G,H
（1）求△PEF的边长
（2）若△PEF的边EF在线段BC上移动，1.求证AG=GH，2.试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明猜想的结论

Answer 1

（1）易知角PEF=60度，过点P作PJ垂直于EF，垂足为J，则PJ=√3，运用三角函数可知PE=2，则△PEF的边长为6。
（2）1.运用三角函数可求得角CAB=60度，角CAD=角ACB30度。AD平行于BC，故角APE=角PEF=60度，角APE+角CAD=90度，故角PGA=90度。
由角PFE=角ACB＋角CHF＝60度及可知角CHF＝30度＝角CAD。
所以PA＝PH，又PG垂直于AH，三线合一，AG=GH。
2.PH＝BE＋1．证明：已证PA＝PH，又有PA＝BJ，EJ=1，故PH＝BE＋1