Question

高中数学必修二 人教版 圆与直线方程问题

一圆与Y轴相切，圆心在直线X-3Y=0上，此圆被直线Y=X截得弦长为2√7，求此圆的方程。

Answer 1

设圆心为（a,b).因为圆与Y轴相切，所以a=r. 那么可设圆的标准方程式为(X-a)^2+(Y-b)^2=a^2
求出a和b即可。 圆心直线X-3Y=0。可得到关系式a-3b=0. 又知此圆被直线Y=X截得弦长为2√7。则根据垂径定理，过圆心做这条弦的垂线，再过圆心连接这条弦与圆相交的一点，得到一个直角三角形。圆心到直线Y=X的距离为a-b比上根号2。斜边是a,另一条直角边为根号7.与之前关系式a-3b=0结合可求出a=±3，b=±1. 以上。

Answer 2

(一看这个题感觉有两个解)
设圆心为(X，X/3)，再根据半弦长、弦心距、半径勾股定理列方程：
半弦长=√7，半径=IXI，弦心距=IX-X/3I/√2，得X=±3，∴圆的方程为：(X±3)^2+(Y±1)^2=9

Answer 3

圆心(3t,t)则半径r=3t，
有：1：(x-3t)^2+(y-t)^2=(3t)^2=9t^2
:2：y=x
联立1,2式得：2x^2-8tx+t^2=0
解得：x1=2t+t√14，x2=2t-t
由弦长为2√7，有：（2t√14）^2=(2√7)^2
从而有t^2=0.5
代入方程1即得此圆的方程为：(x-1.5√2)^2+(y-0.5√2)^2=4.5
或者：(x+1.5√2)^2+(y+0.5√2)^2=4.5

Answer 4

设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离d=｜3t-t｜/√2=｜√2t｜ ，
而(√7)^2=r^2-d^2，9t^2-2t^2=7，
解得t=±1 ，
∴(x-3)^2+(y-1)^2=9或(x+3)^2+(y+1)^2=9．

Answer 5

设为标准方程，一个条件一个方程，然后解方程组即可
圆心为（a，b）半径为r，则得方程组如下
a=IrI,
a-3b=0
(a-b)^2/2+7=r^2,
借此方程组可得：a=±3,b=±1,r=3，问题可解