Question

高数大一的习题

见图

Answer 1

3.确定单调区间
（1）解：定义域x>-1；y'=1-1/(1+x)=x/(1+x);
令y'>0，得x>0，所以单增区间为(0，+无穷);令y'<0,得-1<x<0,所以单减区间为(-1,0)
（2）解：定义域x>0且x不等于1；y'=(2ln2-2)/(lnx)^2;令y'>0得x>e,所以单增区间为(e,+无穷)；
令y'<0得单减区间为(0,1)U(1,e).
（3）解：定义域为全体实数；y'=x^(2/3)+(2/3)*(x-1)*x^(-1/3)=(5x-2)/(3*x^(1/3));
令y'>0得x<0或x>2/5,即为单增区间；令y'<0得0<x<2/5，即为单减区间。
4.证明题
（1）证明：令f(x)=ln(1+x)-x/(1+x) ,x>0;则f'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(x+1)^2>0 恒成立
所以f(x)单增，所以f(x)>f(0)=0,即ln(1+x)-x/(1+x) >0,ln(1+x)>x/(1+x) .
（2）证明：令f(x)=1+1/2-x^(1/2),则f’(x)=(x^0.5-1)/(2*x^0.5),x>0;显然f(x)在x=1时取得最小值，所 以，f(x) >=f(1)=1/2>0,即1+1/2-x^(1/2)>0,1+1/2>x^(1/2).
（3）证明：令f(x)=ln(1+x)-arctanx/(1+x),则f'(x)=(x^3+x^2+arctanx>0)/(1+x^2)(x+1)^2>0恒成立（因为x>0）；所以f(x)单增，所以f(x)>f(o)=0,即证。
（4）证明：令f(x)=sinx+tanx-2x,f'(x)=cosx+(secx)^2-2=((cosx)^3+1-2(cosx)^2)/(cosx)^2,
令g(x)==(cosx)^3+1-2(cosx)^2,g'(x)=sinxcosx>0,0<x<pi/2,所以g(x)单增，所以g(x)>g(0)=0,
所以f'(x)>0,f(x)单增，所以f(x)>f(0)=0,所以sinx+tanx-2x>0,即sinx+tanx>2x.
5.证明：要证tanx2/tanx1>x2/x1,即要证(tanx2)/x2>(tanx1)/x1,即要证f(x)=(tanx)/x在(0,pi/2)上单增
f‘(x)=(x-sinxcosx)/x^2/(cosx)^2,令g(x)=x-sinxcosx,g'(x)=1-(cosx)^2+(sinx)^2=1-cos2x>0,
所以g(x)单增，g(x)>g(0)=0,所以f'(x)>0,f(x)单增，即证。
6.证明：令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=f'(x)-g'(x),h''(x)=f''(x)-g''(x)>0,所以h’(x)单增，
h‘(x)>h'(0)=0-0=0，所以h(x)单增，所以h(x)>h(0)=0-0=0，即证f(x)>g(x)
7.证明：（f(x)/x）'=（xf'(x)-f(x)）/x^2,令g(x)=xf'(x)-f(x),g'(x)=xf''(x)>0,所以g(x)单增，
所以g(X)>g(0)=0,所以f(x)/x单增。
打了我一个小时，望采纳