Question

2到行列式问题

如果行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n ,则行列式的值？

n阶行列式D中，副对角线上元素的乘积a1na2n-1.......an1 在行列式中的符号？

详细说明一下 谢谢！！

Answer 1

行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n，则非零元素个数少于n²-(n²-n) = n个，即最多只有n-1个非零元素，则n阶行列式有n行，则至少有一行没有非零元素，即全为0，将行列式按该行展开，则行列式的值为0

计算a1na2n-1.......an1 的逆序数
行下标都是顺序的，观察列下标
a(1, n)开始， 有a(2, n-1), a(3, n-2), ……, a(n, 1), n-1个
a(2, n-1)开始，有a(3,n-2), a(4, n-3) ……, a(n, 1), n-2个
…… ……
a(n-1,2)开始，有a(n, 1), 1个
则逆序数t = (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n-1)/2
即 a1na2n-1.......an1 在行列式中的符号为(-1)^[n(n-1)/2]

追问

第2题 求逆序数部分 有点不会。。。。。

追答

逆序数，就是观测a(1, n)a(2, n-1)a(3, n-2) ……, a(n, 1)中逆序下标的个数
首先逆序，就是一组下标数列b1,b2,……bn, 如果存在某个数bj比前面的数bi小，则称含有下标bj的元素是逆序的，且若前面每存在一个比bj大的元素，都要算一次逆序数。（可能表述不太严格，时间久了，见谅）
（你也可以理解为前后任取两个元素(a(bi), a(bj))，比较下标，若bi>bj,则称该数对是逆序的，逆序数就是该数列a(b1), a(b2), ……a(bn)中这样逆序数对的个数，所以bj每次小于前面一个元素的下标，都有计算一个a(bj)的逆序数）
下面看a(1, n)a(2, n-1)a(3, n-2) ……, a(n, 1)的逆序数
行的下标为1,2,……,n，都是顺序，即1≤2≤……≤n，不用考虑了
列的下标n, n-1, n-2, ……, 1,
挨个看，n,前面没有元素，不是逆序的
n-1，比n小，是逆序的，且只比n一个元素小，逆序数是1
n-2，比n、n-1小，逆序的，逆序的个数是2，逆序数是2
n-3，比n, n-1, n-2小，逆序数是3
……
1，比n, n-1, ……, 2小，逆序数是n-1
则整体的逆序数是1+2+……+n-1 = n(n-1)/2
这里是看某个元素前面有几个下标比它大，我第一次给出的计算逆序数方法是从前面大的元素观察，看后面有几个元素下标比它小，结果是一样的。

Answer 2

如果行列式中值为零的元素的个数大于n*2-n，意味着某行或某列至多有n-1个元素非0，行列式=0.
算a1na2n-1.......an1 下标按行或列排好的逆序数，如按行排列好，则逆序数为t（n(n-1)(n-2)…21）=（n-1）+（n-2）+…+2+1=n(n-1)/2,因此a1na2n-1.......an1 的符合就是（-1）^n(n-1)/2.