Question

高中数学解三角形

1、在三角形ABC中，若sinBsinC=cos^2(A/2),则三角形的形状是？
等腰三角形/直角三角形/等边三角形/等腰直角三角形
2、在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c。若a,b,c成等差数列，B=30度，三角形ABC的面积为3/2，则b=?

求答案与解题过程，谢谢！

Answer 1

1、∵sinBsinC=cos^2(A/2)，又CosA=2cos^2(A/2)-1
∴ 2sinBsinC-1=CosA=Cos[180°-(B+C)]= -Cos(B+C)
∴2sinBsinC+Cos(B+C)=1→2sinBsinC+CosBCosC-sinBsinC=1
∴CosBCosC+sinBsinC=1→Cos(B-C)或Cos(C-B)=1
所以B-C=2kπ（k∈N） ，又B、C∈（0,180），∴B-C=0
所以△ABC为等腰三角形。
2、∵a,b,c成等差数列→2b=a+c ①
∵∠B=30°由余弦定理，CosB=(a²+c²-b²)/2ac=√3/2 ②
由①、②有3b²=（2+√3)ac
又S△ABC=1/2acsinB→ac=6
∴b=√2(2+√3) =1、∵sinBsinC=cos^2(A/2)，又CosA=2cos^2(A/2)-1
∴ 2sinBsinC-1=CosA=Cos[180°-(B+C)]= -Cos(B+C)
∴2sinBsinC+Cos(B+C)=1→2sinBsinC+CosBCosC-sinBsinC=1
∴CosBCosC+sinBsinC=1→Cos(B-C)或Cos(C-B)=1
所以B-C=2kπ（k∈N） ，又B、C∈（0,180），∴B-C=0
所以△ABC为等腰三角形。
2、∵a,b,c成等差数列→2b=a+c ①
∵∠B=30°由余弦定理，CosB=(a²+c²-b²)/2ac=√3/2 ②
由①、②有3b²=（2+√3)ac
又S△ABC=1/2acsinB→ac=6
∴b=√2(2+√3) =√(1+√3)²=√3 + 1

Answer 2

（1）sinBsinC=cos^2(A/2)=(cosA+1)/2
2sinBsinC=cos(180-(B+C))+1=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC
sinBsinC=1-cosBcosC sinBsinC+cosBcosC=1 cos(B-C)=1 B-C=0 B=C
∴是等腰三角形
2、设a=b-d c=b+d
S=acsin30º/2=(b-d)(b+d)/4=3/2 b²-d²=6
余弦定理 cos30º=(a²+c²-b²)/2ac=((b-d)²+(b+d)²-b²)/2(b-d)(b+d)
=(b²+2d²)/12=√3/2
∴b=√(2√3+1)=√3+1

Answer 3

1、sinBsinC=cos^2(A/2)=(cosA+1)/2
2sinBsinC=cosA+1=-cos(B+C)+1
cos(B+C)+2sinBsinC=1
cosBcosC-sinBsinC+2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1
0<B<pai,-pai<-C<0,-pai<B-C<pai
所以B-C=0，即三角形的形状是等腰三角形
2、因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c
S=1/2*acsin30度=3/2，ac=6
b^2=a^2+c^2-2accos30度=a^2+c^2-∨3ac=（a+c）^2-(2+∨3)ac=4b^2-(2+∨3)*6
b^2=4+2∨3,b=∨3+1

Answer 4

1.等腰直角三角形
2.b=√3+1.
因为Cos^2A/2=(1+CosA)/2
带入原式有2sinBsinC=1+cosA
cosA=cos[π-（B+C)]=-cos(B+C)
2sinBsinC=1-cos(B+C)
2sinBsinC=1-cosBcosc+sinBsinC
即cosBcosc+sinBsinC=1
也就是cos(B-C)=1
所以B-C=0
B=C

因为Cos^2A/2=(1+CosA)/2
带入原式有2sinBsinC=1+cosA
sin(B+c)=1+cosA
sinA=1+cosA
所以sinA=1,cosA=0
故A=90

综上所述，三角形ABC为等腰直角三角形

S=acsinB/2=3/2,ac=6,
a+c=2b,a^2+2ac+c^2=4b^2,a^2+c^2-b^2=3b^2-12.
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=√3/2，
(3b^2-12)/12=√3/2，
b^2=2√3+4，
b=√3+1.

Answer 5

通过积化和差 -2sinBsinC=cos(B+C)-cos(B-C)
运用π-(B+C)=A 替换cos^2(A/2),得到1-cos(B+C)
所以-2sinBsinC=cos(B+C)-cos(B-C)=-2cos^2(A/2)=cos(B+C)-1
所以cos(B-C)=1 又因为B-C在（-π，π）内
所以B=C
因为角A,B,C的对边分别是a,b,c 所以a+c=2b a^2+c^2+2ac=b^2
S=1/2acSinB=3/2=1/4ac ac=6
cosB=根号3/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac
代入，得到b^2=4+2根号3
b=根号3+1