Question

初中几何勾股定理

在四边形ABCD中,AC评分∠BAD,CE为AD边上的高。1.若AB=21,BC=10 CE=8 求AC的长2.在1的的条件下，若CD=BC求AD

Answer 1

1.因为AC平分∠BAD且C到AD距离为8
所以过C作AB边上的高交AB与F，则CF=CE=8
所以在三角形BCF中，BF=（10^2-8^2）^1/2=6
所以AF=21-6=15
所以在三角形ACF中,AC=(15^2+8^2)^1/2=17
2.由CB=CD,CE=CF,∠CFE=∠CBD=90°可证三角形CED与三角形CFB全等
所以ED=BF=6
又由CE=CF，AC=AC，∠AEC=∠AFC=90°可证三角形ACE与三角形ACF全等
所以AE=AF=15
所以AD=AE-DE=15-6=9

Answer 2

1、从C作CF⊥AB于F
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB
∴CF = CE = 8
Rt△CFB中，BF = √(BC²-CF²) = 6
若F在AB上，则AF = AB-BF = 15
Rt△AFC中，AC = √(AF²+CF²) = 17，此时△ABC三边AB、BC、AC满足三角形三边关系
若F在AB延长线上，则AF=AB+BF =27
AC = √(AF²+CF²) = 27.66，此时△ABC中AB、BC、AC也满足三角形三边关系
（画图可以发现，这种情况是∠BAD较小的情况）
所以AC=17或27.66
2、CE=CF，CD=CB
Rt△CBF≌Rt△CDE(HL)
① Rt△CBF≌Rt△CDE =>∠ABC=∠ADC（根据1的结果，这其实也是2种情况，这里∠ABC=∠ADC表示四边形ABCD关于AC对称）
AC平分∠BAD => ∠BAC =∠DAC
AC=AC
△ABC≌△ADC
AD=AB=21
② Rt△CBF≌Rt△CDE =>∠ABC=π-∠ADC（也对应2种情况，即E、F不同时位于四边形ABCD的边上，当一者在边上时，另外一个在延长线上）
AC=AC，∠BAC =∠DAC => Rt△ACF≌Rt△ACE
则AF=AE
BF = √(BC²-CF²) = 6
若E在AD上，F在AB延长线上，AD=AE+DE=AF+DE=AB+BF+DE=AB+2BF= 33
若E在AD延长线上，F在AB上，AD=AE-DE=AF-DE =AB-BF-DE =AB-2BF =9

Answer 3

过C作AB垂线交AB于M
由于BC=10，CM=CE=8(自己想想)
所以BM=6,所以AM=21-6=15
所以AC=17（AMC中勾股求）

第二问有2个点。一个点就是ABC和ADC全等，D在E的外侧，所以AD=AB=21
另一个点D在E点内侧，在线段AE上，所以AD=15-6=9

Answer 4

解：1.过点C作CF垂直于AB，垂足为F
∵AC评分∠BAD ，CE为AD边上的高
∴CF=CE=8
∴BF=根号（BC²-CF²）=根号（10²-8²）=6
∴AF=AB-BF=21-6=15
∴AC=根号（AF²+CF²）=根号（15²+8²）=17
2.由上可知
AE=根号（AC²-CE²）=根号（17²-8²）=15
∵CD=BC=10
∴DE=根号（CD²-CE²）=根号（10²-8²）=6
∴AD=AE+DE=15+6=21

Answer 5

1.过点C做CF⊥AB于点F，可证明△ACF全等于△ACE，故CF=CE=8，
根据勾股定理，在垂直△ACF中，BC=10，CF=8，则BF=6，
又AB=21，则AF=AE=21-6=15，根据勾股定理，AC=17,
2.△CDE中，CE=8，CD=10，根据勾股定理，求得DE=6
根据1中求得AE=15，则AD=AE+DE=21