Question

设定函数（a/3）x^3+bx^2+cx+d(a＞0)，且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1，4.

(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点，求a的取值范围.

我想知道第二问为什么
由于a＞0,所以（a/3）x^3+bx^2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点
等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立

Answer 1

f′(x)-9x=0的两个根分别为1，4.
由此可得c=4a 5a+2b=9
当a=3且曲线y=f(x)过原点时，d=0，f(x)=x^3-3x^2+12x

f(x)在(-∞,+∞)无极值点，f′(x)=0没有变号零点
由于f′(x)=0是二次函数，当a>0时（抛物线开口向上），没有变号零点等价于恒大于或等于0

追问

为什么f'（x）可以等于0？

追答

等于零时，f(x)在该点切线斜率为0，同样没有极值点

追问

可是求导数的极值点的时候，不是要使f'（x）=0吗
f′(x)是二次函数，开口向上，等于0不就有最小值了吗？

追答

在求完极值点时，我们还需验证，看是否满足函数在两极值点中间和两侧的单调性不同。
f'（x）=0只能保证切线斜率为0，不能保证有极值点
但没有极值点等价于f'（x）恒>=0或恒<=0

Answer 2

根据几点的定义我们就知道了f(x)在整个数轴上单调曾和单调减同时存在，那么在数轴上只能是单调增即f′（x）=ax2+2bx+c≥0，不可能是单调减因为f′（x）=ax2+2bx+c在整个数轴上不可能总小于零。

Answer 3

无极值点代表导数不存在使其为0的值，由a>0，导数为二次函数开口向上，故是“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立