Question

用数学归纳法证明2^n≥n^2,n>=4

用数学归纳法证明2^n≥n^2,n>=4

Answer 1

n=4 2^4=16>=4^2=16
n=5 2^5=32>=5^2=25
n=6 2^6=64>=6^2=36
假设2^n>=n^2 对于所有n>=4成立
即有2^k>=k^2 k>=4
2^(k+1)=2^k x 2>=k^2 x 2
因为k^2 x2-(k+1)^2=k^2-2k-1 =(k-1)^2-2 >=3^2-2>=0
所以2^(k+1)>=(k+1)^2
因此对于所有的n>=4 ,都有2^n>=n^2

Answer 2

证明：⑴当n=4时，2^n=16=n^2，不等式成立
⑵假设n=k时(k≧4)，命题成立，即2^k＞=k^2
则2^(k+1)=2×2^k≧2k^2 ①
而当k≧4时，k^2＞2k+1
所以由①式知，2^(k+1)＞k^2+2k+1=(k+1)^2
所以当n=k+1时也成立
由⑴⑵原命题得证
希望能帮到 ^_^