Question

如图,在 △ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。

求证:AD是EF的垂直平分线。。最好今晚解决！
求证:AD是EF的垂直平分线。。最好今晚解决！

Answer 1

证明：
因为,AB=AC,AD⊥BC于点D，
所以AD是△ABC顶角的平分线（三线合一），
所以∠BAD=∠CAD,
又DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F，
所以∠AED=∠AFD
在△ADE和△ADF中
∠BAD=∠CAD
∠AED=∠AFD
AD=AD
所以△ADE≌△ADF
所以AE=AF,DE=DF
所以A,D在线段EF的垂直平分线上，
所以AD是EF的垂直平分线

Answer 2

证明：

Answer 3

△ABC中,AB=AC,△ABC为等腰三角形
⊿ABD与⊿ACD中
AD⊥BC，则AD平分∠BAC
DE⊥AB,DF⊥AC
AD=AD
⊿ADE≌⊿ADF
AE=AF
⊿AEF为等腰三角形
设EF与AD相交于G
⊿AEG与⊿AFG中
∠BAD=∠DAC
∠AEF=∠AFG
AE=AF
⊿AEG≌⊿AFG
EG=GF
所以AD⊥EC
所以AD是EF的垂直平分线

Answer 4

证明：设AD交EF于O点，由题意知
△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠ABC=∠ACB，∠BED=∠CED=90°，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（角角边）
∴DE=DF，BE=CF，∠BDE=∠CDF
∴EF∥BC
∴AD⊥EF
又 ∵AB=AC
∴AB-BE=AC-CF，即AE=AF
∴△AEO≌△AFO（边角边）
∴EO=FO
∴AD是EF的垂直平分线
（此题图形对称，一目了然）

Answer 5

此题简单，我有一题难的。
证明：有两角的平分线相等的三角形是等腰三角形。