Question

已知a,b>0,求证:a/(b^2)+b/(a^2)≥4/(a+b)

Answer 1

证明：因为，a>0,b>0
所以，由基本不等式：
a²/b²+a/b+b/a+b²/a²》4*[根指数为4的根号(a²/b²)*(a/b)(b/a)(b²/a²)]=4
当且仅当，a=b 时，取等号。
即：a²/b²+a/b+b/a+b²/a²》4
(a/b²)(a+b)+(b/a²)(a+b)》4
所以， (a+b)*(a/b²+b/a²)》4
因为，a>0,b>0
所以，a/b²+b/a² 》4/(a+b)

Answer 2

a＞0，b＞0
{ a/(b^2)+b/(a^2) } - 4/(a+b)
= (a^3+b^3)/(a^2b^2) - 4/(a+b)
= { (a^3+b^3)(a+b) - 4a^2b^2 } / { (a+b)a^2b^2 }
= { a^4+a^3b+ab^3+b^4 - 4a^2b^2 } / { (a+b)a^2b^2 }
= { (a^4-2a^2b^2+b^4) + (a^3b-2a^2b^2+ab^3) } / { (a+b)a^2b^2 }
= { (a^2-b^2)^2 + ab (a-b)^2 } / { (a+b)a^2b^2 }
其中：分母 (a+b)a^2b^2 ＞0
分子(a^2-b^2)^2 + ab (a-b)^2 ≥ 0
∴{ a/(b^2)+b/(a^2) } - 4/(a+b) ≥ 0
∴ a/(b^2)+b/(a^2) ≥ 4/(a+b)

Answer 3

用基本不等式方可求解