Question

2011高考数学湖南卷理科数学第16题解答过程

Answer 1

第16题解答：由题意可将1-127的自然数，以2^n 为分界点 (注：n分别取1,2,3,4,5,6）分范围讨论：
1、在64-127中，可表达为：2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0（共有7项），每项的系数为1或者0，显然除“2^6”项的系数不为0外（若该项系数为0，则表达式的值小于64），其余6项的系数可有0-6项的系数为0，用组合公式可得出，有6项系数为0的数有C6,6个；有5-0项系数为0的数的个数分别为：C6,5；C6,4；C6,3；C6,2；C6,1；C6,0。
2、在32-63中，可表达为：2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0（共有6项），每项的系数为1或者0，显然除“2^5”项的系数不为0外（若该项系数为0，则表达式的值小于32），其余5项的系数可有5-0项的系数为0，其个数分别为：C5,5；C5,4；C5,3；C5,2；C5,1；C5,0。
3、同理，在16-31中，4-0项系数为0的分别有：C4,4；C4,3；C4,2；C4,1；C4,0。.
在8-15中，3-0项系数为0的分别有：C3,3；C3,2；C3,1；C3,0。.
在4-7中，2-0项系数为0的分别有：C2,2；C2,1；C2,0。
在2-3中，1-0项系数为0的有：C1,1；C1,0。
在1中，系数为0的项为0项。
结合以上，
有6项系数为0的数的个数有：C6,6=1；
有5项系数为0的数的个数有：C6,5+C5,5=7；
有4项系数为0的数的个数有：C6,4+C5,4+C4,4=21；
有3项系数为0的数的个数有：C6,3+C5,3+C4,3+C3,3=35；
有2项系数为0的数的个数有：C6,2+C5,2+C4,2+C3,2+C2,2=35；
有1项系数为0的数的个数有：C6,1+C5,1+C4,1+C3,1+C2,1+C1,1=21；
有0项系数为0的数的个数有：C6,0+C5,0+C4,0+C3,0+C2,0+C1,0+C0,0=7。
原题所求之和为：2^6x1+2^5x7+2^4x21+2^3x35+2^2x35+2^1x21+2^0x7=64+224+336+280+140+42+7=1093。

Answer 2

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