Question

各项均为正数的数列{an}的前n项和为S，且sn=1\8(an+2)²。求证数列{an}是等差数列

Answer 1

sn=(1/8)(an+2)²
S(n-1)=(1/8)[a(n-1)+2]²
an=Sn-S(n-1)=(1/8){(an+2)²-[a(n-1)+2]²}
=(1/8)[(an+a(n-1)+4][an-a(n-1)]
8an=an²-a(n-1)²+4an-4a(n-1)
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-4[an+a(n-1)]=0
两边同除以an+a(n-1)
an-a(n-1)=4
所以{an}是公差为4的等差数列

Answer 2

a1=S1=(1/8)(a1+2)^2->8a1=(a1)^2+4a1+4-> (a1-2)^2=0-> a1=2
Sn=(1/8)(an+2)^2
S(n-1)=(1/8)(a(n-1)+2)^2
两式相减
8[S(n)-S(n-1)]=(an+2)^2-(a(n-1)+2)^2
(a(n-1)+2)^2=(an+2)^2-8an
(a(n-1)+2)^2=(an-2)^2
因an>2
则a(n-1)+2=an-2
an-a(n-1)=4
则{an}是等差数列 an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2

Answer 3

算S n-1,An=S n - S n-1,算出表达式来，你就成功了，这是n>=2的情形，再算一个A1,懂了米有？

追问

这个套路我知道，但是解起来很麻烦，我解不出来

追答

不会了诶，急着要么？我明天再想想吧~~

追问

呵呵，谢谢，