Question

求证：在△ABC中，a=b*cosC+c*cosB , b=c*cosA+a*cosC , c=a*cosB+b*cosA .

Answer 1

证明：
∵A+B+C=180º.
∴A=180º-(B+C).
∴sinA=sin[180º-(B+C)]
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC.
即有sinA=sinBcosC+cosBsinC.
再由正弦定理可知：
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R),(R为外接圆半径）
代入上式，整理可得：
a=bcosC+ccosB.
另一个同理可证。

Answer 2

画图，每一条边上的高做下来。出来了吗?

Answer 3

余弦定理
c^2=a^2+b^2-2abcosC --->abcosC=(a^2+b^2-c^2)/2
b^2=a^2+c^2-2accosB ---->accosB=(a^2+c^2-b^2)/2
所以abcosC+accosB=(a^2+b^2-c^2)/2+(a^2+c^2-b^2)/2=a^2
bcosC+ccosB=a

同理可证： ccosA+acosC=b
acosB+bcosA=c