Question

初中数学压轴题

抛物线y=a（x+3）（x-1）与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）。
1、求a的值和直线AC的函数关系式；
2、P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交X轴于N。
①求线段PM的最大值
②抛物线上是否存在这样的点M，使得三角形CMP与三角形APN相似，写出所有满足条件的M的坐标（一定要写解答过程），若不写，则不采纳为最佳答案。
注：前面的都会做，答案如下：
1)把(-2,6)代入抛物线方程：
6=a(-2+3)(-2-1)
-3a=6
a=-2
抛物线方程为：y=-2(x+3)(x-1)
令y=0 解得：x=-3 或 x=1
则点A坐标为(1,0) 点B坐标为(-3,0)
直线AC的方程为：y=-2(x-1)
即：y=-2x+2

2)
①设点P的坐标为(p，-2p+2) -2≤p≤1
则点M的横坐标为p
当x=p时，y=-2(p+3)(p-1)
线段PM=-2(p+3)(p-1)-(-2p+2)
=-2p²-4p+6+2p-2
=-2p²-2p+4
=-2(p+1/2)²+9/2
则当p=-1/2时，线段PM有最大值9/2
请写下第二大题的第二小题的过程，谢谢，前面的不必了。
图片忘了发，马上就到

Answer 1

②解析：∵PM⊥X轴
∴⊿CMP∽⊿APN时，CM//AN
设M(x,6)
∵抛物线方程为：y=-2(x+3)(x-1)
∴其对称轴为x=(1-3)/2=-1
∴M(0,6)
∵直线AC的方程为：y=-2x+2
过C作CM⊥AC，则⊿MCP∽⊿ANP
CM方程为：y-6=1/2(x+2)==>x-2y+14=0
与抛物线方程联立得4x^2+9x+2=0==>x1=-2,x2=-1/4
代入抛物线得y2=55/8
∴M2(-1/4,55/8)

Answer 2

三角形相似可以用角相等已经有对顶角一对所以再有一对角相等即可 在这里为简单取见选择直角相等 做CM垂直AC交抛物线于M得到直线MC斜率0.5 代入直线得到MC:y=0.5x+7 联立求出M(-0.25,6.875)或者做MC垂直y轴交抛物线于M这个好算M(0,6) 所以存在M(-0.25,6.875)或(0,6)符合题意 手机党不容易给分吧

Answer 3

若APN与CMP相似，∠CPM=∠APN，所以∠PCN或∠CMP必有一个为直角
1 当∠PCN为直角时，有直线CM的方程X-2Y+14=0。CM与抛物线的加点即为M点(-1/4，55/8)
2 当∠CMP为直角时，直线CM与直线AC的夹角等于∠CAB，CM平行于X轴，M点为在抛物线上C点的对称点即得（0，6）

Answer 4

②1）∵PM⊥X轴
∴△CMP∽△APN时，CM//AN
设M(a,6)，代入抛物线方程y=-2(x+3)(x-1)得
6=-2(a+3)(x-1)
解得，a=0或a=-2(舍)
∴M(0,6)
2）∵直线AC的方程为：y=-2x+2
过C作CM⊥AC，则△MCP∽△ANP
CM方程为：y-6=1/2(x+2)==>x-2y+14=0
与抛物线方程联立得4x^2+9x+2=0==>x1=-2,x2=-1/4
代入抛物线得y2=55/8
∴M2(-1/4,55/8)

Answer 5

很高兴能帮助你，希望我的答案对你有所帮助