Question

已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且在x=-1处得切线的斜率为2

（1）求a和b的值 （2）若x属于[-1,2]时，f（x）<c^2恒成立，求c的取值范围

Answer 1

解：1.
f(x)'=3x^2+2ax+b
由题得：
f(1)'=3+2a+b=0
f(-1)'=3-2a+b=2 ------------------a= -1/2 b= -2
2.
由1可得：
f(x)=x^3-x^2/2-2x+c
f(x)'=3x^2-x-2
解得：
增区间为：(-∞,-2/3]U[1,+∞)
减区间为：[-2/3,1]
可得：
f(-2/3)=22/27+c
f(2)=2+c
因此在[-1,2]上的最大值为：f(x)max=2+c
要使f（x）<c^2恒成立，则：
c^2>2+c
解得：
c~(-∞,-1)U(2,+∞)

Answer 2

求一阶导数，F'(X) = 3x^2+2ax+b
F'(1) = 3+2a+b
F'(-1) = 3-2a+b 推出a= -1/2,b=-2
F(x）=x^3 - 1/2x^2 - 2x+c
F'(X) = 3x^2 - x -2 = (x-1)(3x+2) = 0 x= 1 ,x= -2/3
F(1）=-1-1/2+2+c = 1/2+c
F(-2/3）= 16/27 +c
F(2）=2+c
F(2)= 2+c <c^2 c>2,或者c<-1

追问

谢谢啦

Answer 3

a=-1/2 b=-2
（负无穷，-1），（2，正无穷）

Answer 4

第一步：对函数求倒数：得f'(x)=3*x^2+2ax+b
第二步：带入X1=1;3+2a+b=0;带入X2=-1;3-2a+b=2;得解：a=-1/2;b=-2;
第三步：f(x)=x^3-(x^2)/2-2x+c;由于：f（x）<c^2；则x^3-(x^2)/2-2x<c^2-c;不等式左边最大值是2；
第四步：求c^2-c>2 得：-1<c<2

Answer 5

（1）∵f（x）=x^3+ax^2+bx+c
f‘（x）=3x²+2ax+b
∵在x=1处取得极值
∴f’（1）=0
∴3+2a+b=0·················①
又∵在x=-1处得切线的斜率为2
f’（-1）=2
3-2a+b=2················②
联立①②
解得a=-1/2，b=-2
∴f（x）=x^3-1/2x^2-2x+c
（2）∵f（x）<c²恒成立，
即x^3-1/2x^2-2x+c-c²＜0恒成立
令g（x）=x^3-1/2x^2-2x+cc-c²（x∈[-1,2]）
此题可变为g（x）当x∈[-1,2]时，g（x）最大值＜0
g‘（x）=3x²-x-2
∴g（x）最大值为2
c²-c＞2
c＜-1，或c＞2

追问

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