Question

有关三角函数问题

求三角函数的三分之一角公式
即Sin（x/3）=？
需要正弦，余弦，正切的公式，有多少来多少
以下我收录了一个推导过程，看不懂，应该可以给各位一点启发
或者有人能够详细求的 Sin10度 的三角函数值
用代数式表示的
也行。

Answer 1

同学，这个数学课本上就有诶

Answer 2

好好学习，多看看书就OK了

Answer 3

你这个图很不清楚啊，应该就是用基础公式来回推导吧，我看见里面有i,莫非是虚数？不应该啊？抱歉了，我刚高中毕业，9月份才能上大学，你这个是高等数学里的吧？你是大学生？

Answer 4

sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin³a
记忆方法：三一四三（3143 第一个系数是3指数是1，第二个系数负4指数是3）

Answer 5

呵呵，这个过程和三角函数的公式基本没关系。上面已经写了三倍角的公式了，够了。
只是一元三次方程的解的问题。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
　　第一步：
　　ax^3+bx^2+cx+d=0
　　为了方便，约去a得到
　　x^3+kx^2+mx+n=0
　　令x=y-k/3 ，
　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，
　　

(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，
　　k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，
　　所以相加后y^2抵消 ，
　　得到y^3+py+q=0，
　　其中p=(-k^2/3)+m ，
　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
　　第二步：
　　方程x^3+px+q=0的三个根为：
　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；
　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，
　　其中w=(-1+i√3)/2。实际上，w^3=1
　　×推导过程：
　　1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；
　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，
　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。
　　再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，
　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，
　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
　　则u^3=A；v^3=B ，
　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；
　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，
　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；
　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；
　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，
　　最后：
　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；
　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式
　　方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）
　　判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。
　　x1=A^(1/3)+B^(1/3)；
　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
　　这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹判别法
　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；
　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；
　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。