Question

求教数学高手关于极限拆分的问题

求极限的时候形如（A+B）/C，什么时候能拆成A/C+B/C的形式呢
为什么
x趋近于0时，{ln（1+x^2）-ln[1+(sinx)^2]}/[x(sinx)^3],这个不能拆分成两个分式
x趋近于无穷时，[3x^2sin(1/x)+2sinx]/x,这个就可以，而且必须要拆成两个分式才能做
请高手解答时分析上面两个例子

Answer 1

拆分的目的就是看你拆的两个分式是不是同届的无穷小，像第一题，你的ln（1+x^2）-ln[1+(sinx)^2）都和x2等阶，并且是两个无穷小的差，分母上是四阶无穷小，这样拆乐以后就变成了无穷大减无穷大了，没有意义。
第二题sinx因为有界，所以当常数看就知道解法了，这时候可以忽略低阶无穷大，当然你拆开认为是常数减无穷小也行，

总之就是同阶的不能忽略，以最高阶为准，但要注意看使用无穷大还是用无穷小，比较容易弄错的是同阶无穷小减同阶无穷小产生更高阶的无穷小的那种问题，一定要当心。就比如第一题，是常年的考点哦！！！！

希望楼主采纳，有深入交流就追问。

追问

对于第二题，我拆分后后面的式子我看成是有界函数乘以无穷小量结果是0，请问前面的式子3xsin(1/x)要怎么看成常数呢？这个是无穷大量乘以有界函数。
还有就是看了您的总结，我的理解就是同阶的能拆，不同阶的分母高阶不能拆，如果分子高阶呢，可以拆吗？

追答

第一个疑问：注意看题设是趋近于无穷大哦，当初好像我也错过，呵呵。sin（1/X）趋近于1，拆开前面等价于3x*1/x=3，第二项是小于1/x，无穷小而已。
第二个拆分是不同阶加减，以高阶计算，同阶相加阶数不变，同阶相减，阶数增加，学了泰勒定理以后你会明白得更多，呵呵，主要是考虑到每一个无穷小都是一个自身阶的加上一个高阶无穷小，相减时要注意，贸然展开，你就忽略了这些细节。
像第一题，分子是两个二阶相减，可能是三阶也许是四阶（一般出题都会出四阶的情况，因为分母是四阶的，呵呵），这时候就要考虑仔细了，这个有一定的题量以后是能直接有些经验的，至于你说的分母那个我不太明白，一般分母都比较单纯的，如果有很多项相加减的话，无论分子还是分母，先确定阶数，再该忽略的忽略，该求系数的求系数，最后一比，皆大欢喜。哈哈