Question

如图，在梯形ABCD中，AB平行CD,且AB+CD=BC，M是AD的中点，求证：BM⊥CM.

如题

Answer 1

方法一：
过M作MN∥AB交CD于N。
很明显，MN是梯形ABCD的中位线，∴MN＝（AB＋CD）/2。
而AB＋CD＝BC，∴BN＝MN＝CN。
可见过B、C、M的圆是以点N为圆心的，即BC是△BCM外接圆的直径，得：BM⊥CM。

方法二：
由方法一得到BN＝MN＝CN后，可得：∠BMN＝∠MBN，∠CMN＝∠MCN，结合三角形内角和定理，有：∠BMN＋∠MBN＋∠CMN＋∠MCN＝180°，∴2（∠BMN＋∠CMN）＝180°，
即：∠BMC＝90°，∴BM⊥CM。

Answer 2

过M作MN∥DC于点N，
因为M是AD的中点，MN为提梯形中位线，BN=CN ，MN=1/2（AB+CD）=1/2BC
所以MN=BN=CN
则：∠MBC=∠BMN=∠ABM ∠NMC=∠BCM=∠MCD
又因为：∠ABC+∠BCD=180°
所以：∠BMN+∠MCB=90°
所以：BM⊥CM.

Answer 3

取BC中点M
连接MN
由梯形性质，MN=1/2BC=BN=CN
由MN=BN得出角NBM=角BMN
同理得出角NMC=角NBM
上四个角之和为180度
角NBM+角NBM=角BMN+角NMC=90度
得证BM⊥CM.

Answer 4

取BC中点N连接MN,易得MN=1/2(AB+CD)=1/2BC又N是BC中点，故MN=BN=NC,所以BM⊥MC(三角形一边上中线是这边的一半，此三角形是以该边为斜边的直角三角形）