Question

函数可导性与连续性判断

先看几个定义：
（1）连续点的定义是：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x。时limf(x)=f(x。)，就称x。为f(x)的连续点。
一个推论，即y=f(x)在x。处连续等价于y=f(x)在x。处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x。处左、右极限都等于f(x。)。【这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：函数在x。处有定义；x->x。极限limf(x)存在；x->x。时limf(x)＝f(x。)】

初等函数在其定义域内是连续的。

（2）连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。

根据定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。

连续性好判断，看看定义与内又没有不连续点（根据以上三个条件判断）。可导性怎么判断呢？不连续比不可导，这是一种判断方法；问题在于如果连续又该怎么判断可导性呢？
不妨拿一个证明题来说吧。函数y = f(x) = x^1/3 在区间(-∞,+∞)内连续,但在点x = 0处不可导。（参见http://zhidao.baidu.com/question/28277102.html）该证明过程只是证明了函数在(0,0)处根本不存在导数。
这说明了不能简单地用“函数是否存在左右导数且相等”来判断，而应该有更系统地解决这类求解或判断函数可导性的办法。

乞盼高手指导！

Answer 1

这个只能具体情况具体分析，根据定义，函数在一点可导，要求在该点存在左导数和右导数，且二者相等。那么该函数在一区域内任一点均满足此要求，则在该区域内可导。

Answer 2

一个函数在某一区间上连续（可导）指的是该函数在此区间的任意一点上连续（可导）。
至于判断在某一点上函数是否连续或可导，即判断某个极限是否存在。
判断函数f在点x0处是否连续，即判断极限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)
判断函数f在点x0处是否可导，即判断极限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在

Answer 3

如果函数是连续的就要看在x。处的左右导数是否存在且相等!!