Question

设F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|=18，过F1的直线交双曲线的同一支于M，N两点

若|MN|=10,三角形MF2N的周长为48,则满足条件中的双曲线的标准方程是

Answer 1

由题意得：c=9
|MF1|+|NF1|=|MN|=10
C△MF2N=|MF2| + |NF2| + |MF1| + |NF1|=48
∴|MF2|+|NF2|=48-10=38
根据双曲线的第一定义：双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹。得：
|MF2|-|MF1|=2a……①
|NF2|-|NF1|=2a……②
①＋②，得
( |MF2|+|NF2| )－( |MF1|+|NF1| ) =4a
即：38 - 10=4a
a=7
a²=49
b²=c²-a²=81-49=32
∴双曲线方程为：x²/49 - y²/32=1 或 y²/49 - x²/32 =1