Question

已知如图Rt△ABC∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为AC中点，ED的延长线AB的延长线于F。求证AB×AF＝AC×DF

Answer 1

证明：过A作AM∥BC,交DF于M，
因为∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
所以△ABD∽△CAD,
所以AB/AC=AD/CD,
因为E为AC中点，
所以△AEM≌△CED,
所以AM=CD,
所以AB/AC=AD/AM,
又DE是直角三角形斜边上的中线
所以AE=DE
所以∠FAM=∠B=∠DAE=∠ADE
∠F为公共角
所以△ADF∽△MAF
所以AD/AM=DF/AF,
所以AB/AC=DF/AF,
即AB×AF＝AC×DF

Answer 2

因为E是AC的中点，AD⊥AC
所以DE=CE
所以∠EDC=∠ECD
所以∠BDF=∠ECD
因为AD⊥BC
所以∠DAC+∠ECD=90°
又因为∠DAC+∠BAD=90°，∠BDF=∠ECD
所以∠BDF=∠BAD
因为∠BDF=∠BAD，∠DFA=∠DFB
所以△BDF∽△DAF
所以BD/AD=DF/AF
因为AD⊥BC
所以∠DAB+∠DBA=90°
又因为∠DAB+∠DAC=90°
所以∠DBA=∠DAC
因为AD⊥BC
所以∠ADC=∠ADB=90°
因为∠ADC=∠ADB，∠DBA=∠DAC
所以△ABD∽△CAD
所以AB/AC=BD/AD
因为BD/AD=DF/AF，AB/AC=BD/AD
所以DF/AF=AB/AC
所以AB×AF=AC×DF

Answer 3

证明：
∵AD是高
∴∠ADB=∠CAB=90º
又∵∠ABD=∠CBA【公共角】
∴⊿ADB∽⊿CAB（AA‘）
∴AC/AD=AB/BD＝＞AC/AB=AD/BD
∠BAD=∠C
∵E是AC的中点，∠ADC=90º
∴DE=½AC=CE
∴∠EDC=∠C
∴∠BDF=∠EDC=∠BAD
又∵∠AFD=∠DFB【公共角】
∴⊿AFD∽⊿DFB（AA’）
∴AD/DB=AF/DF
∴AC/AB=AF/DF
∴AB×AF=AC×DF