Question

如图所示，AB∥CD，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

添加的辅助线已确定，不可更改，也不可再添加
添加的辅助线的位置：在BC上取点F使得BF=BA，并连接EF
图片在以下网址：http://hi.baidu.com/n2011dh02036/album/Maths
http://hi.baidu.com/n2011dh02036/album/item/a15fda34e412e2b254e72381.html#
必须用两个三角形全等的方法再来证明BC=AB+CD

Answer 1

证明：1）在△ABE和△BFE中，因有AB=BF（作图），BF=BF（公共边），∠ABE=∠BFE, 则△ABE≌△BFE（边角边），因而有∠BAE=∠BFE
2）在△DCE和△CEF中, 有CE=CE（公共边），∠ECF=∠ECD, ∠CFE=180°-∠EFB, 因
AB∥CD，则有 ∠CDE=180°-∠BAE , 因∠EFB=∠BAE, 则有∠CFE=∠CDE ，可得△DCE≌△CEF中（角角边）,有DC=CF。
3）因 BC=CF+BF, AB=BF，DC=CF，则BC=AB+CD
（证毕）

Answer 2

用两个全等的方法如下
因为AB=BF，只要证明CD=CF就可以了。
BE是<ABC的平分线===> ∠A=∠BFE
AB平行于CD===> ∠A+∠D=180度
∠BFE+∠CFE=180度
因为BE是∠ABF的角平分线
∴∠ABE=∠FBE
在△ABE与△FBE中，
AB=FB
∠ABE=∠FBE
EB=EB
∴△ABE全等△FBE（S.A.S）
∠A=∠BFE===> 用同样方法证△EFC与△EDC全等得∠CFE=∠D
CE是BCD的平分线===> CF=CD
===> CB=BF+CF=AB+CD

Answer 3

解答：在BC上取BF=BA，连接EF，∴易证明△ABE≌△FBE﹙SAS﹚，∴AB=FB，∴∠AEB=∠FEB，又：AB∥CD，易求：∠BEC=90°，∴∠BEF ＋∠FEC =90°∴∠AEB ＋∠DEC=90°﹙平角定义﹚，∴∠FEC=∠DEC，而∠FCE=∠DCE，EC=EC，∴△FEC≌△DEC﹙ASA﹚，∴FC=DC，∴BC=AB＋DC。

Answer 4

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