Question

高一数学题，急！

在平面直角坐标系xOy中，圆Q的半径为2，圆心Q在x轴正半轴上，直线l1:3x+4y-8=0与圆Q相切，过点P(0,2)且斜率为k的直线l2与圆Q相交于不同的两点A和B
(I)求圆Q的方程
(II)求实数k的取值范围
(III)是否存在常数k，使得向量OA+OB与向量PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。

需要过程，非常感谢！

Answer 1

（1）圆心在x正半轴上，设圆心为(a,0)(a>0)，由半径等于2且与直线l1相切，利用圆心到直线距离等于半径，得圆Q方程为：（x-6)²+y²=4；
（2）设直线为y=kx+2，则因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，所以得-3/4<k<0；
（3）设A为（x1,y1),B(x2,y2),则因为A、B在直线y=kx+2上，所以A（x1,kx1+2),B(x2,kx2+2)，向量由（1）、（2）易得向量PQ=（6，-2），因为向量OA+向量OB与向量PA共线，所以有
-2（x1+x2)=6(kx1+kx2+4)；①
将直线y=kx+2的方程与圆的方程联立，联立后整理得（x-6)²+(kx+2)²=4，即
（k²+1）x²+（4k-12)x+36=0;②
利用韦达定理，得x1+x2=(12-4k)/（k²+1）,代入①中，解关于k的一元方程，得k=-3/4，代入②式中的Δ=（4k-12)²-4*36*（k²+1）=0，则此时直线l与圆相切，与题目中的相交于A、B两点不符；
所以不存在.

Answer 2

解：（1）设圆心Q(a,0) 由条件圆心在x正半轴上可知a>0;
因为L1 与圆Q相切,故: |3a-8|/5=2; 得a=6；
所以圆Q的方程为（x-6）^2+y^2=4
（2）设直线L2的方程为y-2=kx
又因为直线与圆相交于不同的两点，故直线应在切线的范围内
d=|6k+2|^2<4(k^2+1)
得（-3+2根6）/5 （-3-2根6）/5

实在不想做了，你看着在弄弄吧

Answer 3

我补充一点，第三题还是可以用点到直线的距离做，如果共线，也就是说点Q到直线AB的距离为0