Question

线性代数：：一矩阵与其转置矩阵的特征值是否相同？？？？？？急。。。为什么？？？、

Answer 1

相同。

因为A与A^T的特征多项式相同，所以它们的特征值相同.

|A^T-λE|

= |(A-λE)^T|

= |A-λE|

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求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

Answer 2

相同。

因为A与A^T的特征多项式相同，所以它们的特征值相同.

|A^T-λE|

= |(A-λE)^T|

= |A-λE|

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性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质2：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：设λ1，λ2，…，λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

Answer 3

相同!
因为A与A^T的特征多项式相同, 所以它们的特征值相同.
|A^T-λE|
= |(A-λE)^T|
= |A-λE|

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Answer 4

是的 在复数域存在可逆矩阵P 使得 P^(-1)AP=上三角矩阵 对角线元素为A的特征值 两端取转置
有 P`A`(P`)^(-1)=下三角矩阵 对角线元素为A`的特征值