Question

线性代数： 矩阵A的秩为n-1，证明伴随矩阵的秩为1.（要有过程）

Answer 1

具体回答如图：

根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：

1、当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A)，r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；

2、当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;

3、当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

扩展资料：

如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵不存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科——伴随矩阵

Answer 2

请看图片:

有疑问请追问