Question

求助关于几何的问题，高手们来帮忙！

A',B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'＝BB‘＝CC'＝DD’，AB',BC',CD',DA'分别相交于点E,F,G,H，求证四边形EFGH为正方形（我最多证出普通矩形，正方形真是不会证）

Answer 1

你既然都证到时矩形了，就很简单了啦，如果四边形EFGH是矩形，那角GHE=角HEF=90°，它们的对顶角分别是角AHA'和角BEB'，那么这两个角就都等于90°，因为AA'=BB'，且角BAB'=角CBC'，所以三角形AHA'全等于三角形BEB'，同理可证四个三角形AHA'、BEB'、CFC'、DGD'全等，AH=DG，HA'=EB'，因为AB'=DA'，所以AB'-AH-EB'=DA'-DG-HA'，得出GH=HE，所以四边形EFGH就是正方形

追问

不是追问哈，多谢多谢！

Answer 2

可以证明相邻连个边相等就可以了！

Answer 3

证明出EFGH为普通矩形，然后证明EF=FG即可证明是正方形了。证明EFGH是矩形了，可知，角BEB'=角CFC'=90°，角B'BE=角C'CF，BB'=CC' 所以，CF=BE 所以 EF=GF

追问

感谢感谢！不是追问哈

Answer 4

你已经证出是矩形了，说明你已经证出各个角是直角了，现在只要证其中两邻边相等就行：
1，AB1=BC1。（ABB1与BCC1全等，边角边）
2，AA1H与BB1E与CC1F全等。（角角边）所以AH=BE，B1E=C1F。
3，AB1-AH-B1E=BC1-BE-C1E所以：HE=EF。

所以：相邻两边相等的矩形是正方形。

追问

不是追问，谢谢了啊

Answer 5

解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
又∵AA'＝BB'＝CC'＝DD'
∴△ABB'与△BCC'与△CDD'与△DAA'都是全等三角形
∴∠BAB'=∠CBC'=∠DCD'=∠ADA' ，∠AB'B=∠BC'C=∠CD'D=∠DA'A ，AB'=BC'=CD'=DA'
∴△AA'E与△BB'F与△CC'G与△DD'H都是全等三角形
∴AE=BF=CG=DH ，A'E=B'F=C'G=D'H
∴AB'-AE-B'F=BC'-BF-C'G=CD'-CG-D'H=DA'-DH-A'E ，即EF=FG=GH=HE
又∵∠BAB'+∠AB'B=90°
∴∠CBC'+∠AB'B=90°
∴∠BFB'=180°- （∠CBC'+∠AB'B）=180°-90°=90°
∴∠EFG=∠BFB'=90°
∴四边形EFGH是正方形 （有一个角是直角，而且四条边都相等的四边形是正方形）

追问

额，不是追问，但大家解答的都超棒，一定都要感谢一下！