Question

如图,在正方形abcd中,e为对角线bd上一点,过点e作ef垂直于bd交bc于e于f，连接df，g为df中点，连接eg、cg

（1）求证：eg=cg
（2）将图（1）中三角bef绕点b逆时针旋转45度，如图（2）所示，取df中点g，连接eg，cg，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请出示证明；若不成立，请说明理由
（3）将（1）中三角形bef绕点b旋转任意角度，如图（3）所示，在连接相应线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察还能得出什么结论？（不要证明)

Answer 1

（1）在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴ CG= 1/2FD．
同理，在Rt△DEF中，
EG= FD．
∴ CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG．

证法二：延长CG至M,使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△DCG 与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB．
EF⊥MF
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴∠MEF=∠CEB
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG=1/2MC．
∴EG=CG

（3）（1）中的结论仍然成立，
即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．

Answer 2

解1：因为角BCD为90度，CG等于二分之一DF，同理，角DEF为90度 EG等于二分之一DF
所以 EG=CG

Answer 3

一样