Question

已知:C是线段AB上一点,分别以AC、BC为边,在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE

,AE交CD于M，BD交CE于N，连接MN，求证：1/MN=1/AC+1/BC

Answer 1

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴ CNNE=DNNB，
设 CNNE=DNNB=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴ MNAC=NECE= NENE+CN= 1k+1，
MNBC=DNDB= DNDN+NB= kk+1，
∴ MNAC+ MNBC=1，
∴ 1MN= 1AC+ 1BC；
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具体Hi上谈，我不想打字了~~

Answer 2

解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

（2）∠AFB=180°-α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中

AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB
，

则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．