Question

高等数学上的几个题，求解答。要有过程啊……急用。

Answer 1

1： lim(x→0) (1 + x/a)^(a/x*b/a) = lim(x→0) e*(1 + x/a)^b/a
= e
2： f'(x) = (3x^2)*(sine^2x) + (x^3)*(cose^2x)*( e^2x)* 2
所以 f'(0) = 0
3：f'(x) = -e^(-x)
所以 ∫f'(lnx)/x dx = ∫-/x^2 dx
= 1/x
4：lim(x→3) sin(3 - x)/[√(1+x) - 2] = lim(x→3) sin(3 - x)*[√(1+x) + 2]/(x -3)
= lim(x→3) [sin(3 - x)/(x -3)]*[√(1+x) + 2]
= (-1)*4
= -4
5：令 F(x,y) = x^2y + xlny - 4
所以 F'(x,y)x = 2xy + lny（F'(x,y)x指F(x'y)关于x的偏导数）
F'(x,y)y = x^2 + x/y（F'(x,y)y指F(x'y)关于y的偏导数）
所以 y' = -F'(x,y)x / F'(x,y)y
= -(2xy + lny)/(x^2 + x/y)
= -(2xy^2 + ylny)/(yx^2 + x)
6：∫xsinxcosx dx = (1/2)x(sinx)^2 - (1/4)(x - sinxcosx)
7：f''(x) = [2(x^2 + 1) - 2x*2x]/(x^2 + 1)^2 = 2(1 - x^2)/(x^2 - 1)^2
令f''(x) = 2(1 - x^2)/(x^2 - 1)^2 = 0 ,解得 x = 1 或 -1
所以 f(x) 的凸区间为[ -1,1 ]
f(x) 的凹区间为（ -∞,-1 ） ，（ 1，∞ ）
f(x) 的拐点为 ( -1,ln2 )与( 1,ln2 )
8：令 F(x) = f(x) - x
由题意可知 F(x) 是连续的
因为 x∈[ a,b ] ; f(x) ∈ ( a,b )
所以 F(a) = f(a) - a > 0
F(b) = f(b) - b < 0
即 F(b) < 0 < F(a)
由介值性定理可知 F 在闭区间[ a,b ]上必存在 ξ∈( a,b )
使得 F(ξ) = 0
所以 在 ( a, b ) 上至少有一点 ξ
使得 f(ξ) = ξ

追问

谢谢您的帮助，请问第六题的步骤是否还可以详细写一下？

追答

为得到xsinxcosx
由[x(sinx)^2]' = (sinx)^2 + 2xsinxcosx
上式中 出现 (sinx)^2 ，所以要再来一个消去它
(x - sinxcosx)' = 1 - (cosx)^2 + (sinx)^2
= 2(sinx)^2
至于系数 自己配一下就出来了

Answer 2

1： lim(x→0) (1 + x/a)^(a/x*b/a) = lim(x→0) e*(1 + x/a)^b/a
= e
2： f'(x) = (3x^2)*(sine^2x) + (x^3)*(cose^2x)*( e^2x)* 2
所以 f'(0) = 0
3：f'(x) = -e^(-x)
所以 ∫f'(lnx)/x dx = ∫-/x^2 dx
= 1/x
4：lim(x→3) sin(3 - x)/[√(1+x) - 2] = lim(x→3) sin(3 - x)*[√(1+x) + 2]/(x -3)
= lim(x→3) [sin(3 - x)/(x -3)]*[√(1+x) + 2]
= (-1)*4
= -4
5：令 F(x,y) = x^2y + xlny - 4
所以 F'(x,y)x = 2xy + lny（F'(x,y)x指F(x'y)关于x的偏导数）
F'(x,y)y = x^2 + x/y（F'(x,y)y指F(x'y)关于y的偏导数）
所以 y' = -F'(x,y)x / F'(x,y)y
= -(2xy + lny)/(x^2 + x/y)
= -(2xy^2 + ylny)/(yx^2 + x)
6：∫xsinxcosx dx = (1/2)x(sinx)^2 - (1/4)(x - sinxcosx)
7：f''(x) = [2(x^2 + 1) - 2x*2x]/(x^2 + 1)^2 = 2(1 - x^2)/(x^2 - 1)^2
令f''(x) = 2(1 - x^2)/(x^2 - 1)^2 = 0 ,解得 x = 1 或 -1
所以 f(x) 的凸区间为[ -1,1 ]
f(x) 的凹区间为（ -∞,-1 ） ，（ 1，∞ ）
f(x) 的拐点为 ( -1,ln2 )与( 1,ln2 )
8：令 F(x) = f(x) - x
由题意可知 F(x) 是连续的
因为 x∈[ a,b ] ; f(x) ∈ ( a,b )
所以 F(a) = f(a) - a > 0
F(b) = f(b) - b < 0
即 F(b) < 0 < F(a)
由介值性定理可知 F 在闭区间[ a,b ]上必存在 ξ∈( a,b )
使得 F(ξ) = 0
所以 在 ( a, b ) 上至少有一点 ξ
使得 f(ξ) = ξ
为得到xsinxcosx
由[x(sinx)^2]' = (sinx)^2 + 2xsinxcosx
上式中 出现 (sinx)^2 ，所以要再来一个消去它
(x - sinxcosx)' = 1 - (cosx)^2 + (sinx)^2
= 2(sinx)^2
至于系数 自己配一下就出来了