Question

如图:抛物线与x轴交与A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D

如图:抛物线与x轴交与A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标：（2）求证：△BCD的外接圆的圆心落在BD边的中点：（3）若点P是坐标轴上的一动点，能使得以P,A,C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出点P的坐标：若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) y = ax^2 + bx + c
代入A,B,C的坐标:
A: a -b + c = 0
B: 9a + 3b + c = 0
C: c = 3
a = -1, b = 2, c = 3
y = -x^2 + 2x + 3

(2) y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 +4
D(1, 4)
抛物线对称轴为x = 1
P是C的以x = 1为对称轴的对称点时, |DC| = |DP|, △PDC是等腰三角形
P的横坐标为2, P(2, 3)

(3) BC斜率k1 = (3-0)/(0-3) = -1
CD斜率k2 = (4-3)/(1-0) = 1
k1*k2 = -1
BC与CD垂直, DM与CB平行, DM斜率-1, 方程为 y - 4 = -(x -1) (点斜式)
y = -x + 5 = -x^2 + 2x + 3
x^2 -3x + 2 = 0
(x-1)(x-2) = 0
x = 1 (顶点D, 舍去)
x = 2
与抛物线交点M(2, 3)

Answer 2

（X+1）（X-3）=0
(1,-4)

Answer 3

(1)y=-x^2+4x-3 D(1,-8)
(2)根据抛物线焦点到顶点的关系可知bcds是直角等边三角形