Question

已知m n p为正整数 m<n设A(-m,0)B(n,0)C(0,p) O为坐标原点 若角ACB=90度 且OA平方+OB平方+OC平方=3(OA+...

已知m n p为正整数 m<n设A(-m,0)B(n,0)C(0,p) O为坐标原点 若角ACB=90度 且OA平方+OB平方+OC平方=3(OA+OB+OC) (1)证明m+n=p+3 (2)求经过A.B.C三点的二次函数解析式

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OA*OB=OC^2，即mn=p^2．
∵OA^2+OB^2+OC^2=3（OA+OB+OC），
即m^2+n^2+p^2=3（m+n+p）．
又m^2+n^2+p^2=（m+n+p)^2-2（mn+np+mp）=（m+n+p)^2-2（p^2+np+mp）=
（m+n+p)^2-2p（m+n+p）=（m+n+p）（m+n-p），
故m+n-p=3，即m+n=p+3．（2）∵mn=p^2，m+n=p+3，
∴m，n是关于x的一元二次方程x^2-（p+3）x+p^2=0①的两个不相等的正整数根，
∴△=[-(p+3]^2-4p^2＞0，解得-1＜p＜3．
又∵p为正整数，故p=1或p=2．
当p=1时，方程①为x^2-4x+1=0，没有整数解．
当p=2时，方程①为x^2-5x+4=0，两根为m=1，n=4．
综合知：m=1，n=4，p=2．
设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=k（x+1）（x-4），将点C（0，2）的坐标代入得2=k×1×（-4），解得k=-1/2．
∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=-1/2（x+1）（x-4）=-x^2/2+3x/2+2．

Answer 2

m*m+p*p+n*n+p*p=(m+n)*(m+n)
p*p=m*n
又m*m+n*n+p*p=3(m+n+p)
mnp正整数
m*m+n*n+p*p>=(m+n+p)^2/3
m+n+p<=9
p*p=m*n
则m=n or m=1,n=4
后不符m=n=p=3
m+n=p+3
经过A.B.C三点的二次函数解析式y=-1/3x^2+3