Question

高中数学题（要详细解题过程）

设A、B是双曲线x^2-y^2/2=1上两点，点N(1,2)是线段AB的中点。
1、求直线AB的方程
2、若线段AB的中垂线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

设A(xA,yA),B(xB,yB)，两点满足双曲线方程
xA^2-yA^2/2=1
xB^2-yB^2/2=1
两式相减得(xA^2-xB^2)-(yA^2-yB^2)/2=0
变形得(xA+xB)(xA-xB)=(yA+yB)(yA-yB)/2
得(yA-yB)/(xA-xB)=2(xA+xB)/(yA+yB)。由于N(1,2)是AB的中点，则(xA+xB)/2=1，(yA+yB)/2=2。得
(yA-yB)/(xA-xB)=1，即直线的斜率为1。
得AB直线方程为y=x+1

容易得到CD的方程为y=-x+3，代入到双曲线方程解得C、D的坐标值。
因为是中垂线，所以有∠CAD=∠CBD，如果四点共圆的话，那个这两个对角互补，因此这两个角必然都为90度，即△CAD是直角三角形，验证直角三角形用勾股定理就行了，由于我这里没有笔和纸，具体我就不算了，你下去计算一下就可以了。