Question

数学:帮忙证明不等式，建议用数学归纳法，请给详细解答。谢谢。

Answer 1

证明：

先证明xi≥0，
假设存在xi<0
则∵x1+x2+...+xn=a, x1²+x2²+...xn²=a²/(n-1)
∴x1+x2+...x(i-1)+x(i+1)+...+xn=a-xi>a,
x1²+x2²+...x(i-1)²+x(i+1)²+...+xn²=a²/(n-1)-xi²<a²/(n-1)
又由柯西不等式
[x1²+x2²+...x(i-1)²+x(i+1)²+...+xn²] (1+1+...+1)≥[x1+x2+...x(i-1)+x(i+1)+...+xn]²
∴[a²/(n-1)]*(n-1)=a²>a² ，矛盾
故假设不成立

再证明x≤2a/n
∵x1+x2+...+x(n-1)=a-xn
∴[x1+x2+...+x(n-1)]²
=(a-xn)²<(n-1)[x1²+x2²+…+x(n-1)²]
故有x1²+x2²+…+xn²=a²/(n-1)>(a-xn)²/(n-1)+xn²
得到xn≤2a/n
故xi≤2a/n

综上可得结论成立