Question

在△ABC中,ABC所对的边分别为abc,且acosA=bcosB,试判断△ABC的形状

求详细的解题过程和思路，谢谢

Answer 1

边化角：
根据正弦定理有
a/sinA=b/sinB=k
即a=ksinA，b=ksinB
那么acosA=bcosB
可以转化为 sinAcosA=sinBcosB
1/2sin2A=1/2sin2B
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B
或2A=π-2B
∴A=B 或A+B=π/2
所以是等腰三角形或者直角三角形

角化边：
acosA=bcosB
a(b²+c²-a²)/(2bc)=b(a²+c²-b²)/(2ac)
a(b²+c²-a²)/b=b(a²+c²-b²)/a
a²(b²+c²-a²)=b²(a²+c²-b²)
a²c²-a^4=b²c²-b^4
a²c²-a^4-b²c²+b^4
(a²-b²)c²-(a^4-b^4)=0
(a²-b²)c²-(a²-b²)(a²+b²)=0
(a²-b²)(c²-a²-b²)=0
∴a²-b²=0或c²-a²-b²=0
即a=b或c²=a²+b²
∴是等腰三角形或者直角三角形