Question

已知函数fx=px-p/x-2lnx

p＞0，gx=2e/x 求在[1，e]上 fx恒小于gx
求p的取值范围
详细过程

Answer 1

令hx=fx-gx，x 在[1，e]上hx恒小于0
则hx=px-p/x-2lnx-2e/x
h'x=p+p/x^2-2/x+2e/x^2=p(1+1/x^2)+(2e-2x)/x^2
因为p>0,x在[1，e]上时，h'x>=0，
所以当x在[1，e]上时，hx是增函数，
所以只要满足h(e)<0即可。
所以pe-p/e-2-2<0，
所以0<p<4/(e-1/e)

Answer 2

p必须满足对每一个x在[1，e]内，都有p≤2(xLnx+e)/(x^2-1)。
然后求这个函数（减函数）的最小值，得p≤4e/(e^2-1)。